Быки и коровы правила. Игра "быки и коровы" Задание быки и коровы

Открыл технологию угадывания 4-значного числа! Абсолютная безотказность. Количество необходимых попыток - 5 -6 , ну в случае фатального невезения может потребоваться 7.
Такая технология, правда, требует от Вас хорошей сообразительности и достаточно большого промежутка времени для отгадывания чисел (у меня уходило от 70 до 160 секунд). Если для Вас это - пустяки, можете смело прибегать к этой технологии)
Принцип такой.
Первые 4 попытки пишем следующие числа:
1234
4567
3480
6043
И смотрим на результаты.
В частности нас интересует СУММА всех быков и коров за эти 4 попытки.
Вы спросите в чем дело, почему именно эти числа? Можно и другие, на самом деле, но обязательно условие такое:
ОДНА цифра должна повторяться ЧЕТЫРЕ раза (в данном случае это 4 ) и желательно стоять во всех числах на разных позициях;
ОДНА цифра - ТРИ раза (в данном случае это 3 );
ДВЕ цифры - по ДВА раза (6 и 0 );
и ОДНА цифра - отсутствовать вовсе (9 ).
При этом пять цифр будут повторяться по одному разу - это 1, 2, 5, 7 и 8 .
Еще одна особенность: в числе 6043 , которое мы ввели 4-ой попыткой, присутствуют все цифры, которые повторяются в данной комбинации более чем один раз (это 4, 3, 6 и 0 ) - и ТОЛЬКО они. Это сыграет также важную роль. Зачем это надо - потом скажу.
Итак, теперь считаем сумму полученных быков и коров. Их может быть от 3 до 11. Это нам надо для того, чтобы определить, какие из повторяющихся цифр встречаются в загаданном числе.
Например, если в итоге получилось 3 быка и коровы - ясное дело, что загаданное число содержит три цифры, которые повторяются в комбинации один раз, и цифру, которая отсутствует. Другого варианта быть не может.
Для тех, кто хочет сэкономить время, приводу шпаргалку:
Сумма БК/Повторения
3 = 1110
4 = 2110 или 1111.
5 = 3110/2210/2111
6 = 4110/3210/3111/2211
7 = 4210/4111/3220/3211
8 = 4310/4220/4211/3221
9 = 4320/4311/4221
10 = 4321
11 = 4322
Если сумма равна от 4 до 9, то вариантов, как вы видите, несколько.
В этом случае на помощь приходит число 6043 (то самое, где встречаются только повторяющиеся цифры). Смотрим сумму быков и коров именно у него.
Например, если общая сумма равна 7 , а у четвертой попытки только один бык, то ясное дело - иначе как 4111 вариантов быть не может.
Вот например:
1234 - 1б, 1к
4567 - 1б, 1к
3480 - 0б, 2к
6043 - 1б, 0к.
Подставляем и получаем следующее:
Цифра 4 - ТОЧНО есть , причем стоит она на 3-ей позиции.
Цифр 3, 6, 9, 0 - ТОЧНО нет .
Подставляем результаты в третью попытку: Цифра 8 - точно есть .
И еще есть одна из цифр 12 , и одна из цифр 57 . Обе - стоят на своих позициях (так как в обоих случаях 4 - это корова).
Возможные варианты: 1847 , 1548 , 8247 .
Более точно мы определить число пока не можем, но заметьте - уже свели количество возможных вариантов к трем (при том что всего их ни много ни мало 4536 , при условии что число не начинается с нуля). Вероятность того, что мы угадаем с 5-ой попытки, равна 33%. Вопрос - что вводить 5-ой попыткой ?
Посмотрим варианты.
Если мы введем 1847 , то:
Если загадано число 1548 , результат будет - 2 быка 1 корова .
Если загадано число 8247 , результат будет - 2 быка 1 корова .
Вывод: число 1847 вводить не стоит, если только Ваши экстрасенсорные способности не подсказывают Вам, что загадано именно оно.
Если мы введем 1548 , то:
Если загадано 1847 , результат будет - 2 быка 1 корова .
Если загадано 8247 , результат будет - 1 бык 1 корова .
Уже лучше! Делаем пятую попытку. С вероятностью 33% - она оказывается удачной, если же нет - то шестая попытка уже точно будет последней. =)))
Если жа и после такой проверки вариантов все равно осталось несколько (например, общая сумма = 8, сумма у 4-го числа = 2, варианты - 4310 и 4211) тогда уже анализируйте дальше, исходя из кол-ва быков и коров на каждой попытке.
Еще один пример:
1234 - 1б, 1к
4567 - 0б, 2к
3480 - 2б, 0к
6043 - 0б, 2к
Сумма = 8. 8 = 4310/4220/4211/3221.
После проверки 4-ой попыткой возможные варианты: 4211, 4310 .
Проверим сначала 4310 . Может быть такое? Может. Это означает, что цифры 3 и 4 - есть, 6 и 0 - нет, 9 - есть. Все подходит.
Теперь определим местоположение. Третья попытка - два быка, и кроме как 3 и 4 вариантов быть не может. СТО-о-оп! А где же тогда бык в первой попытке? Согласно ей, цифр 1 и 2 быть не может, а 3 и 4 уже заняты... Не получается!
ЗНАЧИТ - 3 все-таки нет, а единственный вариант оставшийся - 4211 .
То есть: 4 есть, также есть 6 или 0 , 9 нет. 3 - тоже нет.
Если предположить, что есть 4 и 6 , тогда есть еще 8 , а также 1 или 2 .
Если же предположить, что есть 4 и 0 , то есть еще 5/7 или 1/2 .
Еще один момент: В первой попытке остался неиспользованным один бык. Причем это точно цифра 1 , так как на второй позиции стоит цифра 4 (согласно 3-ей попытке), а цифры 3 вообще нет.
Итак, первые две цифры числа 14 .
Варианты: 1450, 1470, 1486.
И опять с вероятностью 33% мы угадываем с пятой попытки, с вероятностью 67% - с шестой.
Конечно, значительную роль в игре играют быки. В третьей попытке получилось два быка - и в итоге мы сэкономили один ход. Но на самом деле бывает так, что мне удалось выиграть с пятой попытки (и даже без угадывания в конце!!!) имея лишь одного быка.

Например:
1234 - 0б, 2к
4567 - 1б, 0к
3480 - 0б, 3к
6043 - 0б, 3к .
Сумма = 9 . 9 = 4320/4311/4221.
6043 = 3 коровы
Остаются варианты 4320 и 4221 .
Пробуем оба этих варианта. Согласно первому:
Есть цифры 4, 3 и 9 , также есть 6 или 0 .
Или:
Есть 4, 6 и 0 , а также еще одна цифра из неповторяющихся - 1, 2, 5, 7 или 8 .
Какая? Смотрим по быкам. И натыкаемся на несоответствие - во второй попытке 4567 имеем только одного быка, а согласно этому варианту есть 4 и 6 . Не подходит .
Следовательно, подходит только первый вариант, причем как мы только что выяснили, цифры 6 нет, значит есть 3, 4, 9 и 0 .
Теперь вычислим местоположение этих цифр. 4 - единственный бык во второй попытке, значит, она на первой позиции.
Цифра 3 может находиться только на 2-ой позиции, так как она была использована в первой и в четвертой попытке на 3-ей и 4-ой позиции, и нигде нет ни одного быка. Значит, у нас два варианта: 4390 и 4309 . 4390 - быть не может, так как в третьей попытке у нас тоже нет быков. Остается единственный ваариант - 4309 , который мы и вводим 5-ой попыткой и выигрываем!
Но могут изредка возникать ситуации, когда четырех попыток маловато, чтобы свести дальнейший процесс к тупо угадыванию.
1234 - 0б, 1к
4567 - 1б, 0к
3480 - 0б, 1к
6043 - 0б, 1к .
Итого - 4 в сумме. 4 = 2110 или 1111.
На 4-ой попытке - одна корова. Это означает, что вариант 1111 нам не подходит - только 2110 .
Из этого делаем вывод следующий:
9 - есть
Есть также 6 или 0
Есть также 1 или 2 (исходя из первого числа)
И еще одна цифра. Это может быть 5 или 7 , но если есть одна из этих цифр, значит 6 нет, а есть 0 . Или же если есть 6 , то есть 8 обязательно.
Проще говоря, варианты цифр: 1/2 - 6 - 8 - 9 , или 1/2 - 5/7 - 9 - 0.
О местоположении цифр догадываться мы пока не можем - маловато быков.
Возможных вариантов пока много. Делаем пятую попытку. Лучше первым проверять тот вариант, где меньше точно известных цифр. Пусть это будет число 2907 .
Получилось: 1 бык, 1 корова.
Что это означает?
1: Цифры 9 и 0 - верны, а 2 и 7 надо заменить на 1 и 5 .
2: Вариант неверен, и совпали цифры 2 и 9 , а оставшиеся две - 6 и 8 .
То есть набор цифр получается следующий: либо 1-5-9-0 , либо 2-6-8-9 .
Рассмотрим сначала первый вариант. Мы имеем следующее:
5 может быть только на второй позиции;
0 - не на четвертой, значит на третьей позиции (в начале числа он не может стоять). Это и есть бык;
1 - не на первой позиции.
Единственный вариант - 9501 . Пока не спешим его вводить...
Теперь второй вариант - с набором 2-6-8-9 :
6 - на третьей позиции;
2 - не на второй позиции.
Варианты: 2869, 2968, 8962, 9862
Варианты 2968 и 9862 - не подходят, так как в первом случае получается 2 быка, а во втором - ни одного.
Остается три варианта: 9501, 2869, 8962. Тут уже - только вопрос везения. Мне не повезло, я ввел 8962 и получил 1 корову и только) оказалось как раз 9501(((получилось 7 попыток.
Конечно, выглядит сложно на первый раз. Но нужно просто попрактиковаться, и все будет хорошо). А главное - это РАБОТАЕТ ! Реально, я только что 40 раз сыграл с компьютером, в 52,5% случаев (21 из 40) угадал с 5 попыток, в 42,5% (17 из 40) - с 6-ти, и лишь дважды (5%) мне не повезло и пришлось использовать седьмую.
Хотя бывают, конечно, и исключительные случаи. С вероятностью 1 к 1134 компьютер может загадать одно из чисел 1234, 4567, 3480, 6043 . Однажды он загадал число 4576 , которое я благополучно угадал с трех попыток) А может оказаться так, что после ввода, к примеру, 3480 Вы получите 0 быков 0 коров , что делает почти бессмысленным ввод числа 6043 . Но факт есть факт - при использовании этой стратегии вероятность отгадывания с 4 попыток равна 0.09%
не более чем с 5 попыток = около 50%
не более чем с 6 попыток = около 90%
не более чем с 7 попыток = 100%!
Может быть конечно я и ошибаюсь, но на мой взгляд - это самая оптимальная стратегия отгадывания четырехзначного числа. В настоящее время я еще думаю над стратегией отгадывания 5-значных, 6-значных и даже 9-значных чисел. Как додумаюсь - поделюсь, если конечно это будет интересно.
В завершении даю ссылку на мою версию программы, которую я написал за 1,5 часа на Delphi 7. Ее особенность - возможность отгадывать числа как четырехзначые, так и других разрядностей, а также возможность проходить Чемпионаты, т.е. последовательность раундов с отгадыванием чисел разных разрядностей с ограничением по кол-ву попыток и времени (мой рекорд по прохождению чемпионата на 8 раундов - 58 попыток и 590 секунд, уровень Экстрасенс).
Вот она -

Быки и коровы - логическая игра для двоих игроков. Для неё достаточно иметь листок бумаги и ручку, свободное время и немного везения. Как правило, такое время находится у школьников и студентов. Но мне, вашему покорному слуге, не довелось в свои годы узнать эту забаву. Хотя почему бы не размять своё серое вещество на досуге? Это неплохая тренировка для ума, не требующая сильного напряжения, и как развлечение вполне себя оправдывает.

В своём классическом варианте правила очень просты и не притязательны. Играют два человека, каждый загадывает в тайне от оппонента четыре цифры без повторений. Например, это может быть число 0834. Ноль является также цифрой и вполне может быть на первом месте.

Далее игроки по очереди делают ходы, то есть пытаются угадать задуманное противником число. Но спрашивать они обязаны так же в виде четырёхзначного числа. К примеру нас спросят: "Твоё число 3094?". В ответ же мы должны сообщить количество быков и коров. Бык - это цифра, которая есть в нашем загаданном числе и находится на той же позиции. А корова - это цифра, которая так же есть в нашем числе, но находится не на своём месте. В нашем случае получаем две коровы, это цифры 3 и 0, и один бык, это 4. Теперь будем спрашивать мы, и так далее, до тех пор, пока кто-либо не разгадает полностью число. То есть в ответе он получит четыре быка. На картинке показан пример игры. Времени на одну партию требуется совсем немного. На практике обычно требуется от 5 до 8 ходов, но есть уникумы, которые умудряются и за три хода победить. Конечно в таком успехе есть немалая доля везения.

На нашем сайте Вы можете играть в "быки и коровы" как против компьютера, так и онлайн с живым противником. Внизу игровой комнаты для Вашего удобства есть игровой чат, в котором можно подобрать себе противника для игры по сети, либо спросить совета. Так же если у Вас есть замечания по реализации нашей игры, предложения по её улучшению или развитию - то пишите нам. Можно писать как на форуме, так и нам на почту mail@сайт.

Разновидности игры

Вариантов игры великое множество:

1. По типу угадываемой последовательности - это может быть число. В классике - это четырёхзначное без повторений, состоящее из цифр от 0 до 9. Так же может увеличиваться количество цифр в числе, возможность их повторения. В качестве последовательности могут использоваться цвет, какая либо криптограмма, слово.
2. По типу самой игры. В эпоху компьютеров появилась возможность играть одному. Когда человек угадывает число, задуманное компьютером, либо против компьютера. Но машину трудно победить, тут больше вопрос правильно заложенного алгоритма в неё. Игроки играют в классический вариант, но находятся на значительном удалении друг от друга. Игроки угадывают по очереди число, которое задумал компьютер - тут возможны варианты как так называемого горячего стула, когда оппоненты находятся рядом и играют за одним компьютером, так и удалённо.

На данный момент реализован только классический вариант игры. Если у Вас есть идеи, какой вариант быков и коров должен появиться на нашем сайте, то поделитесь ими с нами.

Правила игры

Играют двое. Каждый задумывает и записывает тайное 4-значное число с неповторяющимися цифрами . Игрок, который начинает игру по жребию, делает попытку отгадать число. Попытка - это 4-значное число с неповторяющимися цифрами, сообщаемое противнику. Противник сообщает в ответ, сколько цифр угадано без совпадения с их позициями в тайном числе и сколько угадано вплоть до позиции в тайном числе. Например:

Задумано тайное число «3219».

Попытка номер: «2310».

Результат: две «коровы» (две цифры: "2" и "3" - угаданы на неверных позициях) и один «бык» (одна цифра "1" угадана вплоть до позиции).

Игроки делают попытки угадать по очереди. Побеждает тот, кто угадает число первым.

Вариации игры

В случае варианта с повторениями количество вариантов будет равно .

В классическом случае игры с четырьмя не повторяющимися цифрами для отгадывания любого номера требуется не более семи ходов. Средняя минимальная длина игры составляет 26274/5040=5.2131 попытки .

Реализации

Существует множество вариантов компьютерной реализации игры, в том числе для мобильных телефонов и мобильных компьютеров.

Настольные игры Mastermind популярны во всём мире. Наиболее распространены вариации:

Ссылки

Кандидат технических наук Е. Гик. Быки и коровы. «Наука и жизнь», № 2, 1978, с. 150-151; № 8, 1978, с. 142-143.
Чарльз Уэзерелл. Этюды по программированию, Великий комбинатор. М.: 1982, с. 140.

Примечания

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Быки и коровы" в других словарях:

Домашняя корова Научная классификация Царство: Животные Тип: Хордовые … Википедия

Настощие быки (Bos), род парнокопытных. Дл. тела 180 325 см, хвоста 70 140 см, выc. в холке 62 180 см; масса 325 1200 кг. Самки значительно меньше самцов. 5 видов (иногда относимых к 3 родам): бантенг, гаур, купрей, тур (вымерший к 17 в.) и як; в … Биологический энциклопедический словарь

Быки самые крупные из полорогих. Это могучие и сильные животные. Массивное тело их покоится на крепких конечностях, тяжелая, широкая, низкопосажен ная голова как у самцов, так и у самок увенчана рогами, толстыми и короткими у одних видов … Биологическая энциклопедия

Будут изучены все ситуации, когда ответ противника на наш первый ход - для определенности число 1234 - совпадет с одним из первых пяти в таблице на рис. 2 (предыдущая страничка). При ответе 4б партия продолжается всего один ход, а для каждого из четырех других случаев мы укажем способ игры, гарантирующий отгадывание задуманного числа за наименьшее количество ходов.

Другими словами, за столько ходов мы точно отгадаем число противника, каким бы оно ни было, а при меньшем количестве нам всегда может не повезти - шифр не будет раскрыт.

Партия 1.

На первый ход 1234 противник ответил 2б 2к. Как выиграть? Какое наименьшее количество ходов гарантирует отгадывание задуманного числа?

Легко проверить, что только шесть задуманных чисел в ответ на первый ход 1234 могут дать ответ 2б 2к (табл. 3, первый столбец), и при любом втором ходе по крайней мере три из них дадут одинаковый ответ.

Вторым ходом сыграем 1356 (вместо цифр 5 и 6 можно было бы взять и другие, отличные от 1, 2, 3, 4). Все возможные ответы находятся во втором столбце таблицы. Ответ 2б сразу определяет задуманное число - 1324 (у других чисел иной ответ), ответ 1 б 1 к оставляет два варианта, а ответ 2к - три.

Третий ход 3256 (с учетом второго) вносит полную ясность - все пять чисел-кандидатов дают разную пару ответов. Прочерк в табл. 3 (и всех последующих таблицах) означает, что при соответствующем ходе «реакция» на него данного числа нас уже не интересует. Таким образом, на четвертом ходу гарантирован ответ 4б и партия длится не более четырех ходов.

Типичная и совершенно не очевидная ошибка, которую допускают многие, кто решает эту задачу, состоит в использовании для игры чисел, содержащих только цифры 1, 2, 3, 4. Логика здесь простая - раз все цифры известны, то зачем подключать новые? Однако при таком подходе задуманное число с гарантией определяется на пятом ходу (ответ 4 б).

Партия 2.

Тот же вопрос, что и в первой партии, но ответ на первый ход 1б Зк. На первый ход 1234 восемь чисел могут дать ответ 16 Зк (табл. 4).

При любом втором ходе хотя бы одна четверка чисел дает один и тот же ответ, и для выяснения ситуации понадобятся еще два хода. При втором ходе 1256 числа разделяются на две группы; для чисел первой группы (ответ1б 1к) сделаем третий ход, а для чисел второй группы (ответ 2к) ход 2564 . После этого остаются две пары чисел в каждой гpynne, требующие еще одного хода, и четвертый ход 1564 полностью проясняет картину.

Таким образом, вторая партия длится не более пяти ходов.

Рассмотрим, как выиграть в «быки и коровы» , анализируя еще две партии.

Партия 3.

Тот же вопрос, что и в предыдущих двух партиях, но при ответе на первый ход 4к.

В ответ на первый ход 1234 девять чисел могут дать ответ 4к (табл. 5). Второй ход 3102 расшифровывает два числа, а остальные семь делит на две группы, в одной из которых решает ход 4153 , а в другой - 2456 . Четвертый ход завершит партию (будет получен ответ 4б).

Партия 4.

Тот же вопрос, что и в предыдущих трех партиях, но при ответе на первый ход 3б.

Ответ 3б на первый ход 1234 дают 24 числа. Действительно, три цифры можно зафиксировать на своих местах четырьмя способами, а для четвертой имеется шесть возможностей: 0, 5, 6, 7, 8, 9, то есть всего 4X6 = 24 варианта. Любопытно, что найти задуманное число среди 24 чисел в данной партии удается за столько же ходов, за сколько восемь чисел во второй партии.

Рассмотрим табл. 6 а. В ее первых четырех строках а обозначает любую из цифр 8, 9, 0. Таким образом, здесь представлены все 24 возможности. Сделаем второй ход 1567. Ответ 0б 0к оставляет выбор из трех неразгаданных чисел, для которых годится третий ход 8934 (табл. 6 б). При ответе 2б можно сыграть 1506 (табл. 6 в), а при ответе 1к - 5634 (табл. 6 г).

Для девяти чисел с ответом 1б в табл. 6 а составим табл. 6 д (вновь а может принимать одно из трех значений - 8, 9, 0). Третий ход 3564 разделяет их на три равные группы, четвертым ходом числа идентифицируются, и пятый ход завершит игру (ответ 4б).

У нас осталось еще шесть чисел, расположенных в нижних строках табл. 6 а, выпишем их отдельно (табл. бе). И с этой шестеркой удается разобраться за два дополнительных хода. Итак, вновь партия длится не более пяти ходов.

Результаты всех рассмотренных партий собраны в табл. 7. Строгое доказательство того, что в каждом случае меньшим количеством ходов не обойтись, мы опускаем.

Эта инструкция, как выиграть и разобранные примеры показывают, что искусная игра в «быки и коровы» требует тонкого математического расчета.

Эта логическая, комбинаторная игра, придуманная сравнительно недавно, в 70-е годы, завоевала огромную популярность во многих странах. Ее наиболее распространенный вариант выпускается в виде комплекта под названием "Mastermind" (мастермайнд, буквальный перевод - "выдающийся ум"). Но начнем наш рассказ с "быков и коров".

Играют двое. Каждый задумывает четырехзначное число с разными цифрами, которое должен отгадать партнер (на первом месте может стоять и 0). Ход заключается в том, что отгадывающий называет определенное число, также четырехзначное с разными цифрами. Если задуманное и названное числа имеют общие цифры, стоящие на одних и тех же местах, то такую ситуацию называют "быком" (далее обозначается "б"). Если общие цифры есть, но стоят они на разных местах, то это "корова" (обозначается "к").

В ответ на ход партнера загадчик сравнивает свое число с названным и сообщает общее число "быков" и "коров". Например, если задумано 5239, а названо 2735, то ответ будет "1 бык 2 коровы" (16 2к). Цифра 3 имеется в обоих числах и стоит на одинаковых местах (16), цифры 2 и 5 общие, но стоят на разных местах (2к), цифры 7 и 9 не являются общими.

Сделав ход и получив ответ, отгадчик извлекает некоторую информацию о задуманном числе и в конце концов определяет его. Игра заканчивается в тот момент, когда на очередной свой ход он получает ответ 46, то есть задуманное число найдено. Выигрывает тот, кто быстрее отгадает число противника.

Приведем один пример. Ходы и ответы на них будем записывать в табл. 1.

Предположим, что партнер задумал число 3594, которое нам нужно отгадать. Наш первый ход 1568 дал ответ 16. Это означает, что в задуманном числе имеется всего одна цифра из названных, причем стоящая на своем месте. Постараемся отгадать ее, не привлекая пока - чтобы не запутаться - другие цифры. Сделаем второй ход 1586. Ответ 16 говорит о том, что на своем месте стоит цифра 1 или 5. Теперь следует третий ход 1658, и ответ 1к показывает, что в задуманном числе на втором месте стоит 5, а цифр 1, 6, 8 в нем нет. Ходом 2570 постараемся выяснить наличие цифр 2, 7 и 0. Ответ 16 весьма удачен - этих цифр в искомом числе нет. Итак, ясно, что задуманное число состоит из цифр 3, 4, 5, 9, причем на втором месте - 5. Сделаем следующий ход 4539. Ответ 16 3к означает, что задумано одно из чисел - 3594 или 9543. Если первая цифра 3, то 9 может быть только третьей, а если первая 9, то 3 - только четвертой. Ход 3594 и ответ 46 привел нас к цели; ответ 16 3к означал бы, что задумано число 9543, в этом случае партия продлилась бы на ход дольше.

Чем отличаются "быки и коровы" от мастермайнда? В комплекте мастермайнда роль цифр выполняют колышки шести цветов (красные, желтые, синие, зеленые, белые, черные), они вставляются в отверстия доски, которая выглядит примерно так, как показано на рис. 1. Задуманный набор кодовых колышков - цифр (вверху доски) шифровальщик загораживает специальными воротами, и он не виден расшифровщику. Для каждого хода также предусмотрены четыре отверстия, а еще четыре отверстия, размером поменьше, расположены слева - для ответа на него. Ход состоит в том, что отгадчик вставляет в отверстия четыре цветных колышка, а загадчик в ответ выставляет маленькие ключевые колышки двух цветов (черные и белые) в отверстие слева от хода (в любом порядке). Черные колышки выполняют роль "быков", а белые "коров". Если угаданы не все цвета, то некоторые отверстия остаются пустыми.

В примере на рис. 1 избран шифр ксбж . При первом ходе зчсж произошло одно полное совпадение (ж) и один цвет (с) оказался не на своем месте. Таким образом, ответ бч (по-старому 16 1к). На втором ходу ответ чбб , на третьем - ббчч (определены все четыре цвета), на четвертом - чччч . Игра закончена. Партия длилась четыре хода. Вообще, как мы видим, доска рассчитана на десять ходов - (только совсем неопытные игроки не укладываются в эти рамки).

В переводе мастермайнда на язык "быков и коров" мы получаем, что задуманное число и числа-ходы разрешается образовывать только из шести цифр (шесть цветов колышков). Правда, цвета колышков в шифре и ходах могут повторяться (в отличие от "быков и коров", где все цифры разные). Так, на рис. 1 в девятой строке сделан ход сскк . Ответ на него чб (синий цвет на своем месте, красный не на своем). Оба цвета считаются только один раз. При шифре ккбж и том же ходе сскк красный цвет считался бы уже дважды, и ответ бб .

Сформулируем более точно, как дается ответ на каждый ход в мастермайнде. Сначала сравниваются цвета первых колышков шифра и хода. Если они совпадают, ставится черный кодовый колышек ("бык"), а первые колышки шифра и хода исключаются из рассмотрения. Если они разные, сравниваются цвета первого колышка шифра и второго колышка хода. При совпадении ставится белый кодовый колышек ("корова"), а первый колышек шифра и второй хода исключаются из рассмотрения. Если цвета разные, сравниваются цвета первого колышка шифра и третьего колышка хода и т. д. Когда первый колышек шифра будет исключен из рассмотрения (либо сам по себе, либо при одном из совпадений цветов - вместе с соответствующим колышком хода), точно так же последовательно сравнивается цвет второго колышка шифра с цветами колышков хода, а затем аналогично третий и четвертый колышки шифра. Очевидно, для шифра и ходов на рис. 1 наша процедура даст те же ответы.

Хотя описание занимает много места, на самом деле ответ формулируется за несколько секунд.

Мастермайнд отличается внешней привлекательностью - красивая доска, разноцветные колышки, ворота и т. д. Однако у "быков и коров" другое преимущество - для игры не нужно ничего, кроме бумаги и карандаша. Впрочем, и в наших магазинах появился в продаже комплект мастермайнда под названием "Мыслитель", так что теперь есть выбор...

Ниже мы упомянем о некоторых компьютерных достижениях в рассматриваемых играх. При составлении машинной программы для мастермайнда различные цвета колышков нужно прежде всего закодировать числами, то есть так или иначе мы вынуждены прибегнуть к цифровому языку "быков и коров".

Для отгадывания числа в "быках и коровах" или шифра в мастермайнде партнер должен как бы придумать тест для разгадывания числа или шифра. Таким образом, обе наши игры относятся к разряду тестовых.

Загадывая число в "быках и коровах", его первую цифру можно выбрать десятью способами, вторую - девятью (одна цифра занята), третью - восемью, наконец, четвертую - семью, всего имеем 10*9*8*7 = 5040 различных чисел. В мастермайнде на любом месте может стоять колышек любого цвета (из шести возможных), то есть всего 6 4 = 1296 вариантов.

Итак, в "быках и коровах" имеется 5040 различных чисел, которые можно загадывать и которыми можно ходить. А сколько существует различных ответов? Все они указаны во втором столбце табл. 2, их 14 (очевидно, ответ 36 1к невозможен). Горизонтальной чертой в таблице разделены случаи, в которых обнаружены все четыре цифры, три цифры, две, одна и ни одной. В третьем столбце указано количество чисел, которые могут дать соответствующий ответ на первом ходу. Самый приятный ответ, конечно, 46, сразу заканчивающий игру. Как мы видим, наибольшее разнообразие возможных чисел остается при ответе 1к - 1440.

Разумеется, результат игры, то есть количество ходов, за которое отгадывается задуманное число, в какой-то степени зависит от случая. Но многое определяется и искусством играющих. Здесь возникает вопрос: что понимать под мастерством игры в "быки и коровы"? Ведь даже начинающий игрок уже первым ходом может случайно отгадать задуманное число, но это еще не говорит о его умении.

Предположим, игроки А и Б сыграли матч из трех партий. Игрок А во всех трех партиях отгадал число партнера за 5 ходов. Игрок Б в двух партиях отгадал число за 4 хода, а в одной за 9. Кто играет лучше? Игрок Б выиграл матч со счетом 2:1, но ведь общее число ходов у него больше. Если, скажем, в шахматах важна сама победа независимо от продолжительности партии, то в "быках и коровах" именно скорость отгадывания, количество затраченных ходов собственно и составляют результат игры.

Рассмотрим два наиболее интересных подхода к оценке силы игры в "быки и коровы". Обозначим через l i , число ходов, за которое данный игрок отгадывает число с номером i (i пробегает значения от 1 до 5040). Введем две характеристики его силы игры в "быки и коровы":

где l ср - среднее число ходов, за которое игрок отгадывает число, а l макс - число ходов, гарантирующее ему раскрытие шифра. Любое число отгадывается им самое большее за l макс ходов. Каждая из этих двух характеристик, по желанию, может служить для оценки силы. Очевидно, величины l ср и l макс точно так же определяются и для мастермайнда, только в формулах будет фигурировать другое число - 1296.

В игре людей всегда легко разобраться, кто сильнее. Другое дело, когда речь идет об ЭВМ. Для произвольной стратегии игры, сформулированной в виде некоторого алгоритма, можно вычислить числа l ср и l макс и, значит, в зависимости от критерия определить, какая программа для ЭВМ сильнее.

Стоит заметить, что игры, о которых идет речь, представляют собой весьма интересный объект для исследования на компьютере. Достаточно сказать, что в написании программы для "быков и коров" участвовал один из крупнейших в мире специалистов в области программирования американец Д. Кнут. В нашей стране ряд результатов в этой области был получен группой студентов кафедры кибернетики МИСиС под руководством доцента М. Гендлера.

Основная задача, привлекающая математиков и программистов, состоит в нахождении оптимального алгоритма, то есть такой стратегии игры, при которой число l ср или соответственно l макс принимает наименьшее значение. Если говорить об l ср, то здесь полной ясности цока нет. Найдены стратегии, которые для мастермайнда дают значение l ср чуть меньше 4, а для "быков и коров" - чуть больше 5, но вопрос об оптимальных алгоритмах остается открытым.

Что же касается числа l макс, представляющего больший интерес, то проблема полностью решена. Для мастермайнда построен наилучший алгоритм игры, при котором любое число шифровальщика разгадывается на позднее пятого хода, и доказано, что для любого другого алгоритма (стратегии) найдется хотя бы одно число, на разгадку которого уйдет не меньше пяти ходов. Таким образом, l макс = 5.

Для "быков и коров" несколько лет назад студентами МИСиС была разработана стратегия, гарантирующая отгадывание любого числа за семь ходов, и было установлено, что l макс ≥6. Но сомкнуть эти границы никак не удавалось. И вот совсем недавно при помощи весьма хитроумных комбинаторных рассуждений и тонкого использования машинных возможностей они определили, что l макс = 7. Иначе говоря, построен алгоритм игры в "быки и коровы", позволяющий найти любое загаданное число за семь ходов, и доказано, что шестиходовой стратегии не существует.

Кстати, в приведенном в самом начале примере задуманное число было отгадано именно за семь ходов (хотя пример носил учебный характер и не ставилась цель играть оптимально).

Конечно, нас не должен удивлять тот факт, что для "быков и коров" числа l ср и l макс больше, чем для мастермайнда,- ведь в первом случае возможных вариантов шифра почти в 4 раза больше. Впрочем, известен усложненный вариант игры - супермастермайнд, в котором вместо четырех отверстий используются пять и вместо шести цветов кодовых колышков - восемь.

Рассмотрим теперь несколько партий (точнее было бы сказать, пользуясь шахматной терминологией,- окончаний или этюдов), представленных в виде задач. Разобрав их, вы получите неплохую иллюстрацию тонкостей игры в "быки и коровы". Будут изучены все ситуации, когда ответ противника на наш первый ход - для определенности число 1234 - совпадет с одним из первых пяти в табл. 2. При ответе 46 партия продолжается всего один ход, а для каждого из четырех других случаев мы укажем способ игры, гарантирующий отгадывание задуманного числа за наименьшее количество ходов. Другими словами, за столько ходов мы точно отгадаем число противника, каким бы оно ни было, а при меньшем количестве нам всегда может не повезти - шифр не будет раскрыт.

Партия 1. На первый ход 1234 противник ответил 2б 2к. Какое наименьшее количество ходов гарантирует отгадывание задуманного числа?

Легко проверить, что только шесть задуманных чисел в ответ на первый ход 1234 могут дать ответ 2б 2к (табл. 3, первый столбец), и при любом втором ходе по крайней мере три из них дадут одинаковый ответ.

Вторым ходом сыграем 1356 (вместо цифр 5 и 6 можно было бы взять и другие, отличные от 1, 2, 3, 4). Все возможные ответы находятся во втором столбце таблицы. Ответ 2б сразу определяет задуманное число - 1324 (у других чисел иной ответ), ответ 1б 1к оставляет два варианта, а ответ 2к - три. Третий ход 3256 (с учетом второго) вносит полную ясность - все пять чисел-кандидатов дают разную пару ответов. Прочерк в табл. 3 (и всех последующих таблицах) означает, что при соответствующем ходе "реакция" на него данного числа нас уже не интересует. Таким образом, на четвертом ходу гарантирован ответ 4б и партия длится не более четырех ходов.

Партия 2. Тот же вопрос, что и в первой партии, но ответ на первый ход 1б 3к.

На первый ход 1234 восемь чисел могут дать ответ 1б 3к (табл. 4). При любом втором ходе хотя бы одна четверка

чисел дает один и тот же ответ, и для выяснения ситуации понадобятся еще два хода. При втором ходе 1256 числа разделяются на две группы; для чисел первой группы (ответ 1б 1к) сделаем третий ход 1563, а для чисел второй группы (ответ 2к) - ход 2564. После этого остаются две пары чисел в каждой группе, требующие еще одного хода, и четвертый ход 1564 полностью проясняет картину. Таким образом, вторая партия длится не более пяти ходов.

Партия 3. Тот же вопрос, что и в предыдущих двух партиях, но при ответе на первый ход 4к.

В ответ на первый ход 1234 девять чисел могут дать ответ 4к (табл. 5). Второй ход 3102 расшифровывает два числа, а остальные семь делит на две группы, в одной из которых решает ход 4153, а в другой - 2456. Четвертый ход завершит партию (будет получен ответ 4б).

Партия 4. Тот же вопрос, что и в предыдущих трех партиях, но при ответе на первый ход 3б.

Ответ 3б на первый ход 1234 дают 24 числа. Действительно, три цифры можно зафиксировать на своих местах четырьмя способами, а для четвертой имеется шесть возможностей: О, 5, 6, 7, 8, 9, то есть всего 4*6 = 24 варианта. Любопытно, что найти задуманное число среди 24 чисел в данной партии удается за столько же ходов, за сколько восемь чисел во второй партии.

Рассмотрим табл. 6 а. В ее первых четырех строках а обозначает любую из цифр 8, 9, 0. Таким образом, здесь представлены все 24 возможности. Сделаем второй ход 1567. Ответ Об Ок оставляет выбор из трех неразгаданных чисел, для которых годится третий ход 8934 (табл. 6 б). При ответе 26 можно сыграть 1506 (табл. 6 в), а при ответе 1к - 5634 (табл. 6 г).

Для девяти чисел с ответом 16 в табл. 6 а составим табл. 6 д (вновь а может принимать одно из трех значений - 8, 9, 0). Третий ход 3564 разделяет их на три равные группы, четвертым ходом числа идентифицируются, и пятый ход завершит игру (ответ 4б). У нас осталось еще шесть чисел, расположенных в нижних строках табл. 6 а, выпишем их отдельно (табл. 6 е). И с этой шестеркой удается разобраться за два дополнительных хода. Итак, вновь партия длится не более пяти ходов.

Разобранные примеры показывают, что искусная игра в "быки и коровы" требует тонкого математического расчета.